Question

已知a∈R，函数f(x)＝4x 3 －2ax＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2

已知a∈R，函数f(x)＝4x 3 －2ax＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0.

Answer 1

(1) 函数f(x)的单调递增区间为 和 ， 单调递减区间为 . (2)见解析

(1)由题意得f′(x)＝12x 2 －2a. 当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a＞0时，f′(x)＝12 ， 此时函数f(x)的单调递增区间为 和 ， 单调递减区间为 . (2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x 3 －2ax＋2≥4x 3 －4x＋2. 当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x 3 ＋2a(1－x)－2≥4x 3 ＋4(1－x)－2＝4x 3 －4x＋2. 设g(x)＝2x 3 －2x＋1,0≤x≤1，则 g′(x)＝6x 2 －2＝6 . 于是 x 0 1 g′(x)   － 0 ＋   g(x) 1 减 极小值 增 1 所以g(x) min ＝g ＝1－ ＞0. 所以当0≤x≤1时，2x 3 －2x＋1＞0. 故f(x)＋|a－2|≥4x 3 －4x＋2＞0.