Question

求二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2≤4的最大值、最小值

求二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2≤4的最大值、最小值．

Answer 1

解 由z=x²+4y²+9，得z_x=2x，z_y=8y，
令z_x=z_y=0，得驻点（0，0），
在闭区域D上由驻点（0，历睁简0），计算z（0，0）=9
在闭区域D的边界x²+y²=4上，有
z=x²+4y²+9=x²+4（4-x²）+9=25-3x²，其中x∈早历[-2，2]
则在边界上最大值为25，最小值13
故在闭区域D上最大值肢裤为25，最小值为9

Answer 2

先考虑驻点：az/ax=2x=0,az/ay=8y=0,驻点是（0,0）,z(0,0）=9.
再考虑边界x^2+y^2=4.用Lagrange乘子法.
令F=z+c(x^2+y^2--4),
aF/ax=2x+2cx=0；
aF/ay=8y+2cy=0；
1、c=-1时,第二个方程得y=0,代入配槐边界得x=2或-2,因此唯卖谨两个点为
（2,0）和（-2,0）,此时z(2,0)=z(-2,0)=13.
2、c=-4时,代入第一个方程得x=0,于是y=2或-2
z(0,2)=z(0,-2)=25；
综上比较得z的指基最大值在（0,2）和（0,-2）达到,为25；
最小值在（0,0）达到,是9.