Question

（2014?永康市模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在斜边AB上，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，

（2014?永康市模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在斜边AB上，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，连接OD，OE．（1）求证：四边形CDOE是正方形；（2）当AC=4，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）∵AC、BC分别为半圆O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形CDOE为正方形；

（2）设⊙O的半径为r，
∵AC=4，BC=6，
∴AD=4-r，BE=6-r，
∵AC∥OE，
∴∠A=∠BOE，
∴△OAD∽△BOE，
∴

AD

OE

=

OD

BE

，
∴

4?r

r

=

r

6?r

，
解得r=2.4，
所以⊙O的半径为2.4．