Question

如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值为

如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻．一个电阻是R0、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t=0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律为v=vmaxsinωt．不计导轨电阻，求：（1）从t=0到t=2πω时间内电阻R产生的热量；（2）从t=0到t=π2ω时间内外力F所做的功．

Answer 1

（1）从t=0开始运动，棒ab产生的感应电动势为：
e=Bdv=Bdv_maxsinωt，是正弦式交变电流，
感应电动势最大值为：E_m=Bdv_max，
其有效值为：E=

2

2

E_m，
感应电流的有效值：I=

E

R+r

，
从t=0到t=

2π

ω

时间内电阻R产生的热量：Q=I²Rt，
解得：Q=

πB2d2 v 2 max R

ω(R+r)2

；
（2）从t=0到t=

π

2ω

时间内，根据动能定理得：W=

1

2

mv_max²+I²（R+r）t，
联立得：W=

1

2

mv_max²+

πB2d2 v 2 max

4ω(R+r)

；
答：（1）从t=0到t=

2π

ω

时间内电阻R产生的热量为

πB2d2 v 2 max R

ω(R+r)2

；
（2）从t=0到t=

π

2ω

时间内外力F所做的功为

1

2

mv_max²+

πB2d2 v 2 max

4ω(R+r)

．