Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0a、b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根（1）

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0a、b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根（1）求f（x）的解析式；（2）在区间x∈[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）的对称轴为x+1 即-

b

2a

=1．
即b=-2a．
∵f（x）=x有两相等实根，
∴ax²+（b-1）x=0 的判别式（b-1）²-4a=0．
∴b=1，a=-

1

2

∴f（x）=-

1

2

x2+x．
（2）由已知：f（x）＞2x+m对x∈[-1，1]恒成立
∴m＜-

1

2

x2-x对于x∈[-1，1]恒成立
设g（x）=-

1

2

x2-x=-

1

2

(x+1)2+

1

2

，
该函数在x∈[-1，1]上递减，
∴[g（x）]_min=g（1）=-

3

2

，x∈[-1，1]，
∴m＜?

3

2

．