Question

已知函数f（x）=ex-kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x

已知函数f（x）=ex-kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2-1且x＞0时，f（x）＞x2-3kx+1．

Answer 1

（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．
（Ⅲ）由题，f（x）＞x²-3kx+1，即e^x-kx＞x²-3kx+1?e^x-x²+2kx-1＞0
记g（x）=e^x-x²+2kx-1，则g'（x）=e^x-2x+2k，记h（x）=e^x-2x+2k
则h'（x）=e^x-2，得h'（x）＞0?e^x＞2?x＞ln2
因此，h（x）在（-∞，ln2）上递减，在（ln2，+∞）上递增；
得h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2+2k；
因为，k＞ln2-1，可得h（x）_min=2-2ln2+2k＞0
所以，g'（x）＞0，说明g（x）在R上递增，因此，当x＞0时有g（x）＞g（0）=0
由上，e^x-x²+2kx-1＞0，因此得f（x）＞x²-3kx+1；