Question

（2012?珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角

（2012?珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A'DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA'D=45°，
∴∠A'ED=45°，
∴A'D=DE，
在△AA'D和△CED中，
∴△AA'D≌△CED（SAS）；
（2）∵AC=A'C，
∴点C在AA'的垂直平分线上，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A'C，CD=CB'，
∴AB'=A'D，
在△AEB'和△A'ED中，
∴△AEB'≌△A'ED，
∴AE=A'E，
∴点E也在AA'的垂直平分线上，
∴直线CE是线段AA'的垂直平分线．

Answer 2

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中

AD＝CD ∠ADA′＝∠EDC A′D＝ED

，
∴△AA′D≌△CDE（SAS）；

（2）∵根据旋转性质以及（1）可得：AC=A′C，∠ACE=∠A′CE，
∴点C在AA′的垂直平分线上，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中

∠EAB′＝∠EA′D ∠AEB′＝∠A′ED AB′＝A′D

，
∴△AEB′≌△A′ED（AAS），
∴AE=A′E，
∴点E也在AA′的垂直平分线上，
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．