Question

设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设

设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足 b 1 a 1 + b 2 a 2 +…+ b n a n = 2 n -1 2 n ，n∈ N * ，求{b n }的通项公式；（3）求数列{b n }前n项和T n ．

Answer 1

（1）设等差数列{a n }的公差为d， 由S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1得 4 a 1 +6d=8 a 1 +4d a 1 +(2n-1)d=2 a 1 +2(n-1)d+1 ----（2分） 解得a 1 =1，d=2-----（4分） ∴ a n =2n-1，n∈ N * ----（5分）（注：不写n∈N * 扣1分） （2）由已知 b 1 a 1 + b 2 a 2 +…+ b n a n =1- 1 2 n ，n∈ N * ，---① 当n=1时， b 1 a 1 = 1 2 ，n∈ N * ；---（6分） 当n≥2时， b 1 a 1 + b 2 a 2 +…+ b n-1 a n-1 =1- 1 2 n-1 ，---② 将①-②，得 b n a n =1- 1 2 n - (1- 1 2 n-1 ) = 1 2 n (n≥2) ，----（7分） ∴ b n a n = 1 2 n (n≥2) ， 由（1）知 a n =2n-1，n∈ N * ，∴ b n = 2n-1 2 n (n≥2) ------（8分） ∴检验 n=1， b 1 = 1 2 ?1= 1 2 ，符合， ∴ b n = 2n-1 2 n (n∈ N * ) ---（9分） （3）由已知得 T n = 1 2 + 3 2 2 +…+ 2n-1 2 n ----③， 1 2 T n = 1 2 2 + 3 2 3 …+ 2n-3 2 n + 2n-1 2 n+1 ----④----（10分） 将③-④，得， 1 2 T n = 1 2 +2( 1 2 2 + 1 2 3 +…+ 1 2 n )- 2n-1 2 n+1 = 3 2 - 1 2 n-1 - 2n-1 2 n+1 -----13 ∴ T n =3- 2n+3 2 n ----（14分）