Question

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．求证：（1） 1 a 2

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．求证：（1） 1 a 2 + 1 b 2 = 1 h 2 ；（2）以a+b，h和c+h为边是否构成三角形？如果构成三角形，试确定该三角形的形状；如果不能构成三角形，试说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴a 2 +b 2 =c 2 ，S △ABC = 1 2 AC?BC= 1 2 ab． ∵CD⊥AB于D， ∴S △ABC = 1 2 AB?CD= 1 2 ch． ∴ 1 2 ab= 1 2 ch， ∴ab=ch， ∴ c ab = 1 h ， ∴ c 2 a 2 b 2 = 1 h 2 ． ∵a 2 +b 2 =c 2 ， ∴ a 2 + b 2 a 2 b 2 = 1 h 2 ， ∴ a 2 a 2 b 2 + b 2 a 2 b 2 = 1 h 2 ， ∴ 1 a 2 + 1 b 2 = 1 h 2 ． （2）以a+b，h和c+h为边构成的三角形是直角三角形， ∵（a+b） 2 +h 2 =a 2 +2ab+b 2 +h 2 =c 2 +2ab+h 2 ，（c+h） 2 =c 2 +2ch+h 2 ∵ab=ch， ∴（a+b） 2 +h 2 =（c+h） 2 ∴以a+b，h和c+h为边构成的三角形是直角三角形．