Question

设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为 5 2 ，且点P（0，5）到此双曲

设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为 5 2 ，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程．

Answer 1

依题意，设双曲线的方程为 y 2 a 2 - x 2 b 2 =1（a＞0，b＞0）． ∵e= c a = 5 2 ，c 2 =a 2 +b 2 ，∴a 2 =4b 2 ． 设M（x，y）为双曲线上任一点，则 |PM| 2 =x 2 +（y-5） 2 =b 2 （ y 2 a 2 -1）+（y-5） 2 = 5 4 （y-4） 2 +5-b 2 （|y|≥2b）． ①若4≥2b，则当y=4时， |PM| min 2 =5-b 2 =4，得b 2 =1，a 2 =4． 从而所求双曲线方程为 y 2 4 -x 2 =1． ②若4＜2b，则当y=2b时， |PM| min 2 =4b 2 -20b+25=4， 得b= 7 2 （舍去b= 3 2 ），b 2 = 49 4 ，a 2 =49． 从而所求双曲线方程为 y 2 49 - 4 x 2 49 =1．