Question

证明一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

证明一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

Answer 1

充分性：若ac＜0,则b 2 -4ac＞0,且 ＜0, ∴方程乱塌ax 2 +bx+c=0有两个相异实根，且两源旁根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b 2 -4ac＞0,x 1 x 2 = ＜0,∴ac＜0. 综上所述，一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

充分性：若ac＜0,则b 2 -4ac＞0,且 ＜0, ∴方程ax 2 +bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b 2 -4ac＞0,x 1 x 2 = ＜0,∴ac＜0. 综上所述，一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一正根和雹陪橡一负根的充要条件是ac＜0.