Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC=2bcosA-ccosa（1）求cosA的值；（2）若a=6，b+c=8

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC=2bcosA-ccosa（1）求cosA的值；（2）若a=6，b+c=8，求三角形ABC的面积．

Answer 1

（1）由acosC=2bcosA-ccosa及正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB， 整理得：sin（A+C）=2sinBcosA，即sinB=2sinBcosA， ∵sinB≠0，∴cosA= 1 2 ； （2）∵cosA= 1 2 ，a=6，b+c=8， 由余弦定理得：36=b 2 +c 2 -2bc× 1 2 =（b+c） 2 -3bc=64-3bc， ∴bc= 28 3 ， 由（1）知sinA= 3 2 ， 则S △ABC = 1 2 × 28 3 × 3 2 = 7 3 3 ．