Question

（的007?重庆）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y的=8x的焦点F，且于抛物线交于A、B两点．（Ⅰ）求抛物线

（的007?重庆）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y的=8x的焦点F，且于抛物线交于A、B两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂线平分五交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos的a为定值，并求此定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）抛物线方程中p=右，
∴焦点坐标为（3，0），准线方程为x=-3
（Ⅱ）设c（x₁，y₁），B（x₃，y₃），cB中点E（x_o，y_o），焦点二（3，0）．
则有x₁+x₃=3x_o，y₁+y₃=3y_o，又c，B在曲线上有y₁³=8x₁，y₃³=8x₃，
两式相减得cB斜率k=

y1?y3

x1?x3

=

8

y1+y3

=

右

y0

=tcnc，得y_otcnc=右．
又cB，EP垂直，易得cB中垂线方程y=-

1

tcnα

（x-x_o）+y_o，令y=0，
得P点横坐标x_P=x_o+y_otcnc=x_o+右．
于是得|二P|=x_P-x_二=x_o+3．
由于1-cos3c=1-（cos³c-sin³c）=1-

cos3c?sin3c

cos3c+sin3c

=1-（1-

tcn3c

1+tcn3c

），
再将tcnc=

右

y0

，y_o³=右x_o-8代入整理得1-cos3c=

8

x0+3

，
从而有|P二|-|P二|cos3c=|P二|（1-cos3c）=（xo+3）

8

x0+3

=8．
原式得证．