已知函数f（x）=13x3-12（2a+1）x2+（a2+a）x（1）若函数h（x）=f′(x)x为奇函数，求a的值（2）若?m∈R，
已知函数f（x）=13x3-12（2a+1）x2+（a2+a）x（1）若函数h（x）=f′(x)x为奇函数，求a的值（2）若?m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x...
已知函数f（x）=13x3-12（2a+1）x2+（a2+a）x（1）若函数h（x）=f′(x)x为奇函数，求a的值（2）若?m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围．（3）若a＞-1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
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（1）∵函数f（x）=
x3-
（2a+1）x2+（a2+a）x，∴f′（x）=x2-（2a+1）x+a2+a．
∵函数h（x）=
=2x-（2a+1）+
为奇函数，∴f′（x）为偶函数，∴2a+1=0，a=-
．
（2）若?m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，故k不在f′（x）的取值范围内．
由于f′（x）=x2-（2a+1）x+a2+a=(x?
)2-
≥-
，∴k＜-
．
（3）∵a＞-1，f′（x）=x2-（2a+1）x+a2+a=（x-a-1）（x-a），∴a+1＞0，
①当a≥1时，f′（x）≥0在区间[0，1]上恒成立，故f（x）区间[0，1]上是增函数，
故f（x）的最大值为f（1）=a2-
．
②当-1＜a＜0时，在（0，a+1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
在（a+1，1）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
再根据f（0）=0，f（1）=a2-
，故当-1＜a≤-
时，最大值为f（1）=a2-
；
当-
＜a＜0时，最大值为f（0）=0．
③当0＜a＜1时，在（0，a）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（a，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（x）区间[0，1]上的最大值为f（a）=
a3+
a2．
④当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（x）区间[0，1]上的最大值为f（0）=0．
综上可得，fmax（x）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵函数h（x）=
| f′(x) |
| x |
| a2+a |
| x |
| 1 |
| 2 |
（2）若?m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，故k不在f′（x）的取值范围内．
由于f′（x）=x2-（2a+1）x+a2+a=(x?
| 2a+1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（3）∵a＞-1，f′（x）=x2-（2a+1）x+a2+a=（x-a-1）（x-a），∴a+1＞0，
①当a≥1时，f′（x）≥0在区间[0，1]上恒成立，故f（x）区间[0，1]上是增函数，
故f（x）的最大值为f（1）=a2-
| 1 |
| 6 |
②当-1＜a＜0时，在（0，a+1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
在（a+1，1）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
再根据f（0）=0，f（1）=a2-
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| 6 |
| ||
| 6 |
| 1 |
| 6 |
当-
| ||
| 6 |
③当0＜a＜1时，在（0，a）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（a，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（x）区间[0，1]上的最大值为f（a）=
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④当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（x）区间[0，1]上的最大值为f（0）=0．
综上可得，fmax（x）=
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