Question

如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1

如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，求C2的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C3．抛物线C3的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标？

Answer 1

（1）由抛物线C₁：y=a（x+2）²-5得，
顶点P的为（-2，-5），（2分）
∵点B（1，0）在抛物线C₁上，
∴0=a（1+2）²-5，
解得，a=

5

9

；（4分）

（2）∵抛物线C₂是由抛物线C₁绕点B旋转180°得到的，P点坐标为（-2，-5）
∴顶点M的坐标为（4，5）
∴设抛物线C₂的解析式为：y=a（x-4）²+5，
又抛物线C₂过点B（1，0），代入B点解得：a=-

5

9

，
故C₂的解析式为：y=-

5

9

（x-4）²+5．

（3）∵抛物线C₃由C₁绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
∴点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），（9分）
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2BH=6，
∴FG=3，点F坐标为（m+3，0）．
H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，
PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，
NF²=5²+3²=34，（10分）
①∠PNF=90°时，PN²+NF²=PF²，解得m=

44

3

，
∴Q点坐标为（

19

3

，0）．
②当∠PFN=90°时，PF²+NF²=PN²，解得m=

10

3

，
∴Q点坐标为（

2

3

，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（

19

3

，0）或（

2

3

，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．（13分）