磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统．一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车
磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统．一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触．另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕...
磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统．一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触．另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力．为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题．设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和空间位置x变化规律为B（x，t）=B0cos（ωt-kt）式中B0、ω、k均为已知常量，坐标轴x与轨道平行．在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图所示．图中Oxy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸里，“?”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸外．规定指向纸外时B取正值．“×”和“?”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布．一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为l，与轨道平行的金属框边MQ的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感．（1）试求在时刻t，当金属框的MN边位于x处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x轴正方向移动的速度为v．（2）试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系．
展开
1个回答
展开全部
（1）题给的磁场B（x，t）随时间和空间的变化具有周期性，在某时刻t，磁场的空间分布为：
B（x，t）=B0cos（ωt-kx）
在t+△t时刻，磁场的空间分布为：
B（x，t+△t）=B0cos[（ω（t+△t）-kx）]=B0cos[（ωt-k（x-
△t）]
比较上面两式，不难看出，t和t+△t这两个时刻的磁场的空间分布规律是相同的，只是t时刻原位于（x-
△t）处的磁场，经△t时间，在t+△t时刻，出现在x处．即整个磁场的分布经时间间隔△t沿x轴的正方向平移了一段距离为：
△x=x-（x-
△t）
平移速度为：v0=
=
平移速度v0为恒量．由此可见，题给出的磁场B（x，t）=B0cos（ωt-kt）可视为一在空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度v0沿x轴的正方向平移．如果金属框移动的速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用．
由题已知，在时刻t，金属框移动的速度为v，金属框MN边位于坐标x处，PQ边位于坐标x+d处．设此时金属框的磁通为Φ（规定由纸内到纸外Φ为正）；经过一很短的时间间隔△t，整个磁场分布区域向x方向移动了一段距离v0△t，金属框向x方向移动了一段距离v△t，其结果是：
MN边左侧穿过面积为（v0-v）l△t的磁通B（x，t）（v0-v）l△t移进了金属框，PQ边左侧穿过面积为（v0-v）l△t的磁通B（x+d，t）（v0-v）l△t移出了金属框，故在t+△t时刻，通过金属框的磁通为
Φ′=Φ+B（x，t）（v0-v）l△t-B（x+d，t）（v0-v）l△t…①
在△t时间间隔内，通过金属框的磁通增量为：
△Φ=Φ′-Φ=[B（x，t）-B（x+d，t）]l（v0-v）△t…②
规定框内的感应电动势E（t）沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向）为正，由电磁感应定律，可得t时刻的感应电动势：
E（t）=
…③
规定金属框内的感应电流i（t）沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向）为正，可得t时刻的感应电流为：
i（t）=
…④
磁场对于上下两边NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力为零．规定向右的力为正，则磁场作用于金属框MN边的安培力为 i（t）B（x，t）l；由于PQ边和MN边的电流方向相反，磁场作用于金属框PQ边的安培力为-i（t）B（x+d，t）l，故金属框的安培力的合力：
f（t）=i（t）B（x，t）l-i（t）B（x+d，t）l…⑤
由①②③④⑤式及题给定的磁场分布规律，得：
f（t）=
{cos（ωt-kx）-cos[（ωt-kx）-kd]}2…⑥
利用三角学公式，得：
f（t）=
sin2(
)sin2[
]=F0sin2[(ωt?kx)?
]… ⑦
F0=
B（x，t）=B0cos（ωt-kx）
在t+△t时刻，磁场的空间分布为：
B（x，t+△t）=B0cos[（ω（t+△t）-kx）]=B0cos[（ωt-k（x-
| ω |
| k |
比较上面两式，不难看出，t和t+△t这两个时刻的磁场的空间分布规律是相同的，只是t时刻原位于（x-
| ω |
| k |
△x=x-（x-
| ω |
| k |
平移速度为：v0=
| △x |
| △t |
| ω |
| k |
平移速度v0为恒量．由此可见，题给出的磁场B（x，t）=B0cos（ωt-kt）可视为一在空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度v0沿x轴的正方向平移．如果金属框移动的速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用．
由题已知，在时刻t，金属框移动的速度为v，金属框MN边位于坐标x处，PQ边位于坐标x+d处．设此时金属框的磁通为Φ（规定由纸内到纸外Φ为正）；经过一很短的时间间隔△t，整个磁场分布区域向x方向移动了一段距离v0△t，金属框向x方向移动了一段距离v△t，其结果是：
MN边左侧穿过面积为（v0-v）l△t的磁通B（x，t）（v0-v）l△t移进了金属框，PQ边左侧穿过面积为（v0-v）l△t的磁通B（x+d，t）（v0-v）l△t移出了金属框，故在t+△t时刻，通过金属框的磁通为
Φ′=Φ+B（x，t）（v0-v）l△t-B（x+d，t）（v0-v）l△t…①
在△t时间间隔内，通过金属框的磁通增量为：
△Φ=Φ′-Φ=[B（x，t）-B（x+d，t）]l（v0-v）△t…②
规定框内的感应电动势E（t）沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向）为正，由电磁感应定律，可得t时刻的感应电动势：
E（t）=
| △Φ |
| △t |
规定金属框内的感应电流i（t）沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向）为正，可得t时刻的感应电流为：
i（t）=
| E |
| R |
磁场对于上下两边NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力为零．规定向右的力为正，则磁场作用于金属框MN边的安培力为 i（t）B（x，t）l；由于PQ边和MN边的电流方向相反，磁场作用于金属框PQ边的安培力为-i（t）B（x+d，t）l，故金属框的安培力的合力：
f（t）=i（t）B（x，t）l-i（t）B（x+d，t）l…⑤
由①②③④⑤式及题给定的磁场分布规律，得：
f（t）=
| ||||
| R |
利用三角学公式，得：
f（t）=
4
| ||||
| R |
| kd |
| 2 |
| 2(ωt?kx)?kd |
| 2 |
| kd |
| 2 |
F0=
4
|
