（2011?晋中三模）如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB＝1，|OF|＝1．（1
（2011?晋中三模）如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB＝1，|OF|＝1．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l...
（2011?晋中三模）如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB＝1，|OF|＝1．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
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解．（1）如图建系，设椭圆方程为
+
＝1(a＞b＞0)，则c=1
又∵
?
＝1即（a+c）?（a-c）=1=a2-c2，∴a2=2
故椭圆方程为
+y2＝1
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则
设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），故kPQ=1，
于是设直线l为y=x+m，由
得3x2+4mx+2m2-2=0，
又F为△PQM的垂心，则MP⊥FQ，
故
?
＝x1(x2?1)+y2(y1?1)＝0又yi=xi+m（i=1，2）
得x1（x2-1）+（x2+m）（x1+m-1）=0即2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0由韦达定理得2?
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
又∵| AF |
| FB |
故椭圆方程为
| x2 |
| 2 |
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则
设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），故kPQ=1，
于是设直线l为y=x+m，由
|
又F为△PQM的垂心，则MP⊥FQ，
故
| MP |
| FQ |
得x1（x2-1）+（x2+m）（x1+m-1）=0即2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0由韦达定理得2?
