Question

设f(x)＝alnx+12x+32x+1（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（1）求a的值；（2

设f(x)＝alnx+12x+32x+1（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

（1）由f(x)＝alnx+

1

2x

+

3

2

x+1，得
f′(x)＝

a

x

?

1

2x2

+

3

2

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，
则f′（1）=0，
即a?

1

2

+

3

2

＝0，解得：a=-1；
（2）f(x)＝?lnx+

1

2x

+

3

2

x+1．
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)＝?

1

x

?

1

2x2

+

3

2

＝

?2x?1+3x2

2x2

．
由f′（x）=0，得：x＝?

1

3

或x=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；
当x=1时，函数f（x）取得极小值，为f(1)＝?ln1+

1

2

+

3

2

+1＝3．