Question

若不等式x2+px＞4x+p-3对于0≤p≤4恒成立，则x的取值范围为______

若不等式x2+px＞4x+p-3对于0≤p≤4恒成立，则x的取值范围为______．

Answer 1

∵不等式x²+px＞4x+p-3对于0≤p≤4恒成立，
∴x²+（x-1）p-4x+3＞0在p∈[0，4]恒成立，
即函数f（p）=x²+（x-1）p-4x+4＞0在p∈[0，4]恒成立；
∴

f(0)＞0 f(4)＞0

，
即

x2?4x+3＞0 x2?1＞0

；
解得x＜-1，或x＞3，
∴x的取值范围是{x|x＜-1，或x＞3}．
故答案为：{x|x＜-1，或x＞3}．

Answer 2

∵不等式x2+px＞4x+p-3对于0≤p≤4恒成立，
∴原不等式化为x2+（x-1）p-4x+3＞0在p∈[0，4]恒成立，
设函数f（p）=x2+（x-1）p-4x+4＞0在p∈[0，4]恒成立；
∵x-1≠0（否则原不等式不成立），
∴f（p）为一次函数，要使f（p）在0≤p≤4内恒大于0，
则有f（0）＞0且f（4）＞0，
即x2-4x+3＞0且x2-1＞0，
因式分解得：（x-1）（x-3）＞0且（x+1）（x-1）＞0，
解得：x＞3或x＜1且x＞1或x＜-1，
∴不等式x2+px＞4x+p-3都成立的x的取值范围是x＞3或x＜-1．
即{x|x＜-1，或x＞3}．