Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE． （1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BF=5， cos∠C= 4 5 ，求⊙O的直径．

Answer 1

证明：（1）BF与⊙O相切，连接OB、OA，连接BD（1分）， ∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°， ∴BD是直径，∴BD过圆心 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D， ∴∠ABC=∠D， ∵AD⊥AB， ∴∠ABD+∠D=90°， ∵AF=AE， ∴∠EBA=∠FBA， ∴∠ABD+∠FBA=90°， ∴OB⊥BF， ∴BF是⊙O切线（4分）； （2）∵∠C=∠D， cos∠C= 4 5 ， ∴cos∠D= 4 5 ， ∵BF=5， ∴ BD DF = 4 5 ， ∴ BF DF = 3 5 ， ∴BD= 4 3 ×5= 20 3 ， ∴直径为 20 3 （8分）．