Question

从正反面分别写有0和1，2和3，4和5，6和7的4张卡片中任取3张，再将每张卡片的某一面朝上，依次排成一排，

从正反面分别写有0和1，2和3，4和5，6和7的4张卡片中任取3张，再将每张卡片的某一面朝上，依次排成一排，其中2，3，4，5，7 不能倒置，0和1倒置后仍是0和1，6可倒置为9．（1）用三张卡片组成三位整数，所有可能得到的三位整数有几个？（2）用三张卡片组成数列，求三个数字依次成一个等差数列的概率．

Answer 1

记写有0和1的为A卡，写有6和7的为B卡，另两张为C卡； （1）根据题意，三位数的首位不能为0，分2种情况讨论： ①无A卡时，一张B卡和两张C卡可以作任意的排列，并且每一张卡的正反两面都可用，其中B卡的两个面有3种用法，故可组成 A 33 ×3×2×2=72个三位数；  ②有A卡时，再分有无B卡讨论： （Ⅰ）有B卡的，A卡在百位时：有C 2 1 A 2 2 ×3×2=24个，A卡不在百位时，有C 2 1 C 2 1 A 2 2 ×3×2×2=96个， （Ⅱ）无B卡的，A卡在百位时：有A 2 2 ×2×2=8个，A卡不在百位时，有C 2 1 A 2 2 ×2×2×2=32个， 故共有N=72+24+96+8+32=232个三位整数． （2）数列的首项可以为0， 故A卡、B卡、C卡都不受排列位置的限制，但B卡正反两面有3种用法，其余的卡都有2种用法． 任选3张卡排成一列，有B卡时可得C 3 2 ×A 3 3 ×3×2×2=216个， 无B卡时有A 3 3 ×2×2×2=48个，共有216+48=264个， 其中三个数依次等差数列的情况有0，2，4和4，2，0；0，3，6和6，3，0；1，3，5和5，3，1；1，4，7和7，4，1；2，4，6和6，4，2；3，5，7和7，5，3；1，5，9和9，5，1；共14个； 故所求的概率为P= 14 264 = 7 132 ．