Question

已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点

已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与 ABCD的面积之比．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相似三角形的判定推出即可； （2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出 ，求出x=2y，由勾股定理得求出DF= ，分别求出含参数y的⊙O面积和四边形ABCD面积，即可求出答案． 试题解析：解：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°. ∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC. ∴∠EDC="90°." ∴∠ADF=∠EDC=90°.∴∠ADE=∠CDF. ∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE. （2）∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x. ∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y. ∵△ADE∽△CDF，∴ ，即 . ∵x、y均为正数，∴x="2y." ∴BC=6y，CF=2y. 在Rt△DFC中，∠DFC=90°， 由勾股定理得： ， ∴⊙O的面积为 ， 四边形ABCD的面积为 . ∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为 ．