Question

（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC

（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．画法初探①如图②，在△ABC中，∠ACB＞90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）； 辩证思考②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形；特例分析③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是 ；④如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边AB上的相似点，求的值．（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线． ①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不限制画图工具的前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？你的解答是： （只需描述PQ的画法，不需在图上画出PQ）．②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．

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Answer 1

（1）①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②不是，如正三角形；③直角三角形；④ ；（2）①在距离A点b2a处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q；②辩证思考：问题：是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似线的矩形．不是，如正方形．

试题分析：（1）①根据“自相似点”的定义结合相似三角形的判定方法求解即可； ②根据“自相似点”的定义结合相似三角形的判定方法即可作出判断； ③根据“自相似点”的定义结合相似三角形的性质即可作出判断； ④先根据等腰三角形的性质求得∠B、∠ACB的度数，再根据P是△ABC边AB上的相似点可证得△CBP∽△ABC，再根据相似三角形的性质求解即可； （2）①在距离A点 处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q； ②答案不唯一，合理即可. （1）①在∠ABC内，作∠CBD=∠A， 在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P， 则P为△ABC的自相似点； ②不是，如正三角形． ③直角三角形． ④∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°． ∵P是△ABC边AB上的相似点． ∴△CBP∽△ABC． ∴∠BCP＝∠A＝36°，且 ． ∴∠ACP＝36°＝∠A，∠B＝∠BPC． ∴AP＝CP＝BC． 设BP＝x，AP＝CP＝BC＝y，有 ＝ ． 化简，得x 2 ＋xy－y 2 ＝0． 舍去负根，得 ＝ ，即＝ ； （2）①在距离A点 处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q； ②辩证思考 问题：是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似线的矩形． 不是，如正方形． 特例分析 答案不唯一，以下答案供参考： i）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，且矩形PQCB∽矩形ABCD，a、b之间有何数量关系？ a＝2b． ii）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，且P 是AB的中点，a、b之间有何数量关系？ a＝2b． iii）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，当a＝2，b＝1时，求AP． AP＝12．  iv）问题：已知矩形ABCD为黄金矩形（即 ＝ ），PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，求 ． ＝ ． 点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.