Question

如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接

如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y． （1）求y与x的函数关系式；（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

Answer 1

（1） （2）0＜ （3）BP的长为 或2

分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式。 （2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围。 （3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度。 解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，∴∠APB=∠CEP。 又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE。 ∴ ，即 。 ∴y与x的函数关系式为 。 （2）∵ ， ∴当x= 时，y取得最大值，最大值为 。 ∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上， ∴ ，解得 。 ∵m＞0，∴m的取值范围为：0＜ 。 （3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE， 又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°， ∴∠APG=∠APB。 ∵∠BAG=90°，∴AG∥BC。∴∠GAP=∠APB。 ∴∠GAP=∠APG。∴AG=PG=PC。 如图，分别延长CE、AG，交于点H， 则易知ABCH为矩形，HE=CH﹣CE=2﹣y， ， 在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH 2 +HE 2 =GH 2 ， 即：x 2 +（2﹣y） 2 =y 2 ，化简得：x 2 ﹣4y+4=0 ① 由（1）可知 ，这里m=4，∴ 。 代入①式整理得：x 2 ﹣8x+4=0，解得：x= 或x=2。 ∴BP的长为 或2。