Question

已知函数f（x）=（2x+a）?e x （e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极小值；（2）对区间[-1，1]内

已知函数f（x）=（2x+a）?e x （e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极小值；（2）对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e 2 成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=（2x+a+2）?e x ， 当 x＜- a 2 -1 时，f′（x）＜0，当 x＞- a 2 -1 时，f′（x）＞0， ∴函数在 (-∞，- a 2 -1) 上为减函数，在 (- a 2 -1，+∞) 上为增函数， ∴ x=- a 2 -1 时，函数取得极小值，极小值为 f(- a 2 -1)=-2 e a 2 -1 ； （2）由（1）知 - a 2 -1≤-1 ，即a≥0时，f（x）在[-1，1]上为增函数 ∴f（x） max =f（1），f（x） min =f（-1） ∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e 2 成立， ∴ f(-1)≥-2 f(1)≤ e 2 ∴ (a-2) e -1 ≥-2 (a+2)e≤ e 2 ∴0≤a≤e-2 - a 2 -1≥1 ，即a≤-4时，f（x）在[-1，1]上为减函数 ∴f（x） max =f（-1），f（x） min =f（1） ∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e 2 成立， ∴ f(1)≥-2 f(-1)≤ e 2 ∴ (a+2)e≥-2 (a-2) e -1 ≤ e 2 ，无解； -1＜- a 2 -1＜1 ，即-4＜a＜0时，f（x）在[-1， - a 2 -1 ）上为减函数，在[ - a 2 -1 ，1）上为增函数 ∴f（x） max ={f（-1），f（1）}，f（x） min = f(- a 2 -1) ∴ (a+2)e≤ e 2 (a-2) e -1 ≤ e 2 -2 e a 2 -1 ≥-2 ∴-2≤a＜0 综上，a的取值范围为-2≤a≤e-2．