Question

已知 - π 2 ＜x＜0 ， sinx+cosx= 1 5 ．（1）求sinx-cosx的值；（2）求 sin2x+

已知 - π 2 ＜x＜0 ， sinx+cosx= 1 5 ．（1）求sinx-cosx的值；（2）求 sin2x+2cos2x 1+tanx 的值．

Answer 1

（1）把 sinx+cosx= 1 5 两边平方得 1+2sinxcosx= 1 25 ，有 sin2x=- 24 25 ， ∴ (sinx-cosx ) 2 =1-2sinxcosx= 49 25 ， 又 - π 2 ＜x＜0 ，得sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0， ∴ sinx-cosx=- 7 5 ； （2）由 sinx+cosx= 1 5 与 sinx-cosx=- 7 5 ，得 si n 2 x-co s 2 x=- 7 25 ， ∴ cos2x=co s 2 x-si n 2 x= 7 25 ， 又由 sinx+cosx= 1 5 与 sinx-cosx=- 7 5 解得 sinx=- 3 5 ，cosx= 4 5 ，有 tanx=- 3 4 ， ∴ sin2x+2cos2x 1+tanx = - 24 25 + 14 25 1+(- 3 4 ) =- 8 5 ．