Question

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由；（2）要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．

Answer 1

（1）四边形EFGH是平行四边形；
证明：在△ACD中∵G、H分别是CD、AC的中点，
∴GH∥AD，GH=

1

2

AD，
在△ABC中∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF∥AD，EF=

1

2

AD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．
理由如下：∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD且EF=

1

2

AD，
同理可得：GH∥AD且GH=

1

2

AD，EH∥BC且EH=

1

2

BC，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AD=BC，
∴

1

2

AD=

1

2

BC，
即EF=EH，
∴?EFGH是菱形．