Question

（2011?津南区一模）如图（1），在Rt△ACB中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（Ⅰ）求证：ACAB=AD

（2011?津南区一模）如图（1），在Rt△ACB中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（Ⅰ）求证：ACAB=ADAC；（Ⅱ）当点E是AC的中点时，如图（2）所示，直线ED与⊙O相切吗？请说明理由．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接CD．
∵BC为直径，∴∠ADC=90°…（1分）
∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB…（2分）
∵∠A=∠A，∴Rt△ADC∽Rt△ACB …（3分）
∴

AC

AB

=

AD

AC

…（4分）

（Ⅱ）ED与⊙O相切．  …（5分）
理由如下：连接OD．
∵DE是Rt△ADC的中线．∴ED=EC…（6分）
∴∠EDC=∠ECD．…（7分）
∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD．
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°…（8分）
∴ED与⊙O相切．