Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+3是偶函数，且其图象过点（-1，4）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数F（x

已知二次函数f（x）=ax2+bx+3是偶函数，且其图象过点（-1，4）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数F（x）=f（ex-a）+f（e-x-a）的最小值．

Answer 1

（1）由函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，则有f（-x）=f（x），即ax^2_-bx+3=ax²+bx+3，解得b=0，
    又其图象过点（-1，4）得f（-1）=4，即a+3=4，解得a=1
    则f（x）=x²+3；
（2）F（x）=f（e^x-a）+f（e^-x-a）=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²+4，
令t=e^x+e^-x，（t≥2），
令h（t）=t²-2at+2a²+4=（t-a）²+a²+4，
当a≤2时，h（t）_min=h（2）=2a²-4a+8，
当a＞2时，h（t）_min=h（a）=a²+4，
综上，F（x）=

2a2?4a+8，a≤2 a2+4，a＞2

．