Question

过点M（0，4）且斜率为-1的直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，若AO⊥BO，求抛物线方程

过点M（0，4）且斜率为-1的直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，若AO⊥BO，求抛物线方程．

Answer 1

依题意可求得直线l的方程为y+x-4，
代入抛物线方程得 x²-（8+2p）x+16=0，
由韦达定理得x₁x₂=16，x₁+x₂=2p+8
∴y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p．
∵AO⊥BO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴p=2，
∴抛物线C为：y²=4x．