Question

如图所示，从△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：（1

如图所示，从△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

Answer 1

（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．