Question

线性代数证明题～

Answer 1

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

Answer 2

对n阶|A|，按照第1列展开。Dn=|An×n| Dn-1 = |A(n-1)×(n-1)| ，......
得到 Dn=2aDn-1 - a² Dn-2 ，这是差分方程，求解特征方程λ²-2aλ+a²=0，求得 解为 λ1=λ2=a
那么Dn=|A| = （n+1）a^n

【评注】
对于n阶行列式，如果能得到 Dn=pDn-1+qDn-2 ，那么我们可以求解特征方程λ²-pλ-q=0
得到λ1，λ2.
如果λ1=λ2=λ，则Dn= （a+nb）λ^n
如果λ1≠λ2，则Dn=aλ1^n+bλ^n
这里的a，b，可以通过D1，D2求得。

newmanhero 2015年1月31日19:35:18

希望对你有所帮助，望采纳。

追问

刚刚自己用数学归纳法做了第一问 也做出来咯 感觉你的方法好厉害😄

差分方程那个我不懂啊… 第二题跟第三题又如何解咧

第二问的x1可以用克拉默法则求出来 等于n/（（n+1）a）

追答

对于n阶矩阵，可以先求D1，D2，D3....找出规律，再用归纳法证之。就是你说到的方法。

如果规律表达式复杂，你就不容易写出来了。可以用递推式计算，也就是上面写的方法。

差分方程那个不懂没关系，记下结论就好。

第二题，当|A|≠0时，即a≠0时，有惟一解。利用克莱姆法则计算x1，即可。

第三题，当a=0时，r（A）=n-1，基础解系有1个解向量，为（1,0,0,...,0)T，
方程组的特解为（0,1,0,...0)T ，所以通解为 （0,1,0,...0)T+k（1,0,0,...,0)T

追问

嗯嗯 2 3问我也做出来啦 思路一样～ 能麻烦你再帮忙看个题么

这个行列式看起来像范德蒙行列式 但不知道怎么下手

追答

第1行提取x1^n ,第2行提取x2^n ， ......，貌似凑成了 范德蒙行列式。

自己写写看。

追问

好的

追答

注意：D2不是范德蒙行列式，先算D2，再算n≥3，Dn

追问

每一行都提个公因式就成范德蒙行列式了

我又问了俩问题 你有空的话帮我看看呗