Question

已知函数 f(x)= 2-x x-1 +aln(x-1) （a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函

已知函数 f(x)= 2-x x-1 +aln(x-1) （a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（2）当a=2时，求证： 1- 1 x-1 ＜2ln(x-1)＜2x-4 （x＞2）；（3）求证： 1 4 + 1 6 +…+ 1 2n ＜lnn＜1+ 1 2 +…+ 1 n-1 （n∈N * 且n≥2）．

Answer 1

（1）因为 f   ′ (x)= a(x-1)-1 (x-1) 2 ，若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即 a≥ 1 x-1 恒成立，所以 a≥( 1 x-1 ) max ． 又x∈[2，+∞），则 0＜ 1 x-1 ≤1 ，所以a≥1． （2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数 f(x)= 2-x x-1 +2ln(x-1) 在[2，+∞）上是增函数， 所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即 2-x x-1 +2ln(x-1)＞0 ，则 2ln(x-1)＞ x-2 x-1 =1- 1 x-1 ． 令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有 g ′ (x)=2- 2 x-1 = 2(x-2) x-1 ， 当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0， 因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0， 即可得到2x-4＞2ln（x-1）． 综上有 1- 1 x-1 ＜2ln(x-1)＜2x-4 （x＞2）． （3）在（2）的结论中令 x-1= t+1 t ，则 1 t+1 ＜2ln t+1 t ＜2? 1 t ， 取t=1，2，…，n-1，（n∈N * ，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得， 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ＜2(ln 2 1 +ln 3 2 +…+ln n n-1 )＜2(1+ 1 2 +…+ 1 n-1 ) ， 所以 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ＜2lnn＜2(1+ 1 2 +…+ 1 n-1 ) ， 即 1 4 + 1 6 +…+ 1 2n ＜lnn＜1+ 1 2 +…+ 1 n-1 （n∈N * 且n≥2）