Question

（2011?钦州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平

（2011?钦州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）若CD=4，AC=45，求垂线段OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠OAC=∠DAC．
∴AC平分∠DAB．

（2）解：如图所示．

（3）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4

5

，
∴AD=

AC2?CD2

=

(4 5 )2?42

=8．
∵OE⊥AC，
∴AE=2

5

．
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴

OE

CD

＝

AE

AD

．
∴OE=

AE

AD

×CD＝

2 5

8

×4＝

5

．
即垂线段OE的长为