Question

如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．（1）当

如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF=CD；（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为______（不必证明）．

Answer 1

（1）证明：如图2：
∵△ABC与△BEF都为等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC=CD，EB=BF，
∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC，即∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，

AB＝BC ∠ABE＝∠CBF EB＝FB

，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF，
则CD=AC=AE+EC=FC+EC；
（2）CE=CF+CD，理由为：
证明：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CDG=60°，△CDG为等边三角形，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，ED=FD，GD=CD，
∴∠EDF-∠GDF=∠GDC-∠GDF，即∠EDG=∠FDC，
在△EDG和△FDC中，

ED＝FD ∠EDG＝∠FDC DG＝DC

，
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴EG=FC，
则CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD；
（3）CF=CE+CD，理由为：
证明：过D作DG∥AC，交FC于点G，

∵GD∥AC，
∴∠GCD=∠DGC=60°，即△GCD为等边三角形，
∵△EDF为等边三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDF-∠DEG=∠GDC-∠EDG，即∠FDG=∠EDC，
在△ECD和△FGD中，

ED＝FD ∠EDC＝∠FDG CD＝GD

，
∴△ECD≌△FGD（SAS），
∴EC=FG，
则FC=FG+GC=EC+CD．
故答案为：（3）CF=CE+CD．