Question

已知抛物线y2=4x与椭圆x29+y2m＝1有共同的焦点F2．（1）求m的值；（2）若P是两曲线的一个公共点，F1是椭

已知抛物线y2=4x与椭圆x29+y2m＝1有共同的焦点F2．（1）求m的值；（2）若P是两曲线的一个公共点，F1是椭圆的另一个焦点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求cosα?cosβ的值；（3）求△PF1F2的面积．

Answer 1

（1）依题意可知抛物线焦点为（1，0），
∴椭圆的半焦距c=1，即9-m=1，m=8
（2）设P（x₁，y₁）
由

x 12 9 + y 12 8 ＝1 y 2 1 ＝4x1

得 2x²₁+9x₁-18=0，∴x₁=

3

2

，或x₁=-6（舍）．
∵x=-1是y²=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F₁．设点P到抛物线y²=4x的准线的距离为PN，则|PF₂|=|PN|．
又|PN|=x₁+1=

5

2

，
∴|PF₂|=

5

2

，|PF₁|=2a-

5

2

=

7

2

．
过点P作PP₁⊥x轴，垂足为P₁，在Rt△PP₁F₁中，cosα=

5

7

在Rt△PP₁F₂中，cos（л-β）=

1

5

，cosβ=-

1

5

，∴cosαcosβ=-

1

7

．
（3）∵x₁=

3

2

，∴|PP₁|=

6

，
∴S_△PF1F2=

1

2

|F₁F₂|?|P₁P₂|=

6

．