如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=43x2+bx+c的图象经过A、C两点,且与x

如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=43x2+bx+c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设... 如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=43x2+bx+c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N.问在x轴上是否存在点P,使得△PMN是等腰直角三角形?如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理由. 展开
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灰常能装82QL
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解答:解:(1)∵一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,
∴A (-1,0)C (0,-4),
把A (-1,0)C (0,-4)代入y=
4
3
x2+bx+c得
4
3
?b+c=0
c=?4
,解得
b=?
8
3
c=?4

∴y=
4
3
x2-
8
3
x-4;

(2)∵y=
4
3
x2-
8
3
x-4=
4
3
( x-1)2-
16
3

∴顶点为D(1,-
16
3
),
设直线DC交x轴于点E,
由D(1,-
16
3
)C (0,-4),
易求直线CD的解析式为y=-
4
3
x-4,
易求E(-3,0),B(3,0),
S△EDB=
1
2
×6×
16
3
=16,
S△ECA=
1
2
×2×4=4,
S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12;
(3)设M、N的纵坐标为a,
由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为:y=
4
3
x?4

则M(
?4?a
4
,a),N(
3a+12
4
,a),
①当∠PMN=90°,MN=a+4,PM=-a,因为是等腰直角三角形,则-a=a+4 则a=-2 则P的横坐标为-
1
2

即P点坐标为(-
1
2
,0);
②当∠PNM=90°,PN=MN,同上,a=-2,则P的横坐标为
3×(?2)+12
4
=
3
2

即P点坐标为(
3
2
,0);
③当∠MPN=90°,作MN的中点Q,连接PQ,则PQ=-a,
又PM=PN,∴PQ⊥MN,则MN=2PQ,即:a+4=-2a,
解得:a=-
4
3

点P的横坐标为:
?4?a+3a+12
4
2
=
a+4
4
=
2
3

即P点的坐标为(
2
3
,0).
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