Question

一个简单微分方程的求解

y'[x] == x + y[x] 我主要是不知道怎么得来的

Answer 1

y'=x+y
先解对应的齐次方程y'=y
即dy/dx=y
一个容易的计算写法如下
dy/dx=y
dy/y=dx
即(1/y)dy=dx
上式两边积分得lny=x+c0，其中c0为常数
则y=c*e^x，其中c为常数
解一般方程须再进行系数变换，即将齐次方程通解中的常数c变成变量
设y=c(x)e^x
带入原非齐次方程y'=x+y
得c'(x)e^x+c(x)e^x=c(x)e^x+x
即c'(x)e^x=x
c'(x)=xe^(-x)
积分得c(x)=-(1+x)e^(-x)
得原方程的解为
y=c(x)e^x=-1-x

其中e^x表e的x次方

Answer 2

直接套公式，先写出特征方程，求出特征根，再写出通解
然后再求出一个特解，通解加特解就是原方程的通解，怎么得来的要看书上了，这里说着也太不方便了

Answer 3

请解释下y[x]的意义