Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．求证：（

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．求证：（1）AE=CF；（2）S四边形AEPF=12S△ABC．

Answer 1

证明：（1）连接AP．

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP=PC=BP（直角三角形斜边上的中线是斜边长的一半）；
在直角三角形ABP中，∠B=∠BAP=45°；
在直角三角形APC中，∠PAC=∠C=45°；
∴∠EAP=∠C=45°；
∵∠FPE=∠APC=90°，
∴∠CPF=∠APE；
∴在△AEP与△CPF中，
∠EAP=∠C=45°，
AP=CP，
∠CPF=∠APE，
∴△AEP≌△CPF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）；

（2）∵△AEP≌△CPF，
∴S_△AEP=S_△CPF（全等三角形的面积相等）；
又∵S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△AFP，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APC=

1

2

S_△ABC；
即S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC．