Question

已知f（x）=ax2+x-a，a∈R．（1）若不等式f（x）＞（a-1）x2+（2a+1）x-3a-1对任意实数x∈[-1，1]恒成立

已知f（x）=ax2+x-a，a∈R．（1）若不等式f（x）＞（a-1）x2+（2a+1）x-3a-1对任意实数x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

（1）原不等式等价于x²-2ax+2a+1＞0对任意的实数x∈[-1，1]恒成立，
设g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1
①当a＜-1时，g_min（x）=g（-1）=1+2a+2a+1＞0，得a∈Φ；
②当-1≤a≤1时，gmin(x)＝g(a)＝?a2+2a+1＞0，得?1?

2

＜a≤1；
③当a＞1时，g_min（x）=g（1）=1-2a+2a+1＞0，得a＞1；
综上a＞1?

2

（3）不等式f（x）＞1即为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0
因为a＜0，所以(x?1)(x+

a+1

a

)＜0，因为 1?(?

a+1

a

)＝

2a+1

a

所以当?

1

2

＜a＜0时，1＜?

a+1

a

，解集为{x|1＜x＜?

a+1

a

}；
当a＝?

1

2

时，（x-1）²＜0，解集为?；
当a＜?

1

2

时，1＞?

a+1

a

，解集为{x|?

a+1

a

＜x＜1}