已知函数f(x)＝lnx?a(x?1)x+1．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m
已知函数f(x)＝lnx?a(x?1)x+1．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，n∈R，且m≠n，求证m?nlnm?lnn＜m...
已知函数f(x)＝lnx?a(x?1)x+1．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，n∈R，且m≠n，求证m?nlnm?lnn＜m+n2．
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（1）f′（x）=
-
=
=
，
因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
当x∈（0，+∞）时，由x2+（2-2a）x+1≥0，
得：2a-2≤x+
，
设g（x）=x+
，x∈（0，+∞），
则g（x）=x+
≥2
=2，当且仅当x=
即x=1时，g（x）有最小值2，
所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（-∞，2]；
（2）要证
＜
，只需证
＜
，
即ln
＞
，即ln
-
＞0，
设h（x）=lnx-
| 1 |
| x |
| a(x+1)?a(x?1) |
| (x+1)2 |
| (x+1)2?2ax |
| x(x+1)2 |
| x2+(2?2a)x+1 |
| x(x+1)2 |
因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
当x∈（0，+∞）时，由x2+（2-2a）x+1≥0，
得：2a-2≤x+
| 1 |
| x |
设g（x）=x+
| 1 |
| x |
则g（x）=x+
| 1 |
| x |
x?
|
| 1 |
| x |
所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（-∞，2]；
（2）要证
| m?n |
| lnm?lnn |
| m+n |
| 2 |
| ||
ln
|
| ||
| 2 |
即ln
| m |
| n |
2(
| ||
|
| m |
| n |
2(
| ||
|
设h（x）=lnx-
| 2(x?1) |
