Question

（2014?江西样卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的

（2014?江西样卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2=OA?OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．（1）试判断抛物线y＝2x2+52x+12是否是“黄金”抛物线，并说明理由；（2）若抛物线y=3x2+5x+c（其中c≠0）是“黄金”抛物线，请求出c的值；（3）将（2）中条件下的抛物线进行一定的平移后所得的抛物线仍为“黄金”抛物线，请直接写出平移后的抛物线解析式，及抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）是“黄金”抛物线应满足的条件．

Answer 1

（1）该抛物线是“黄金”抛物线．
理由如下：
对于y＝2x2+

5

2

x+

1

2

，当y=0时，即2x2+

5

2

x+

1

2

＝0，
解得：x₁=-1，x₂=-

1

4

，即A点坐标为（-1，0），B点坐标为(?

1

4

，0)，
∴OA=1，OB=

1

4

．
又当x=0时，y＝

1

2

，故C点坐标为(0，

1

2

)，即OC＝

1

2

．
因而OC²=（

1

2

）²=

1

4

=1×

1

4

=OA?OB，
故抛物线y=2x²+

5

2

x+

1

2

是“黄金”抛物线．

（2）设抛物线y=3x²+5x+c与x轴的两个交点A、B的坐标分别为（x_A，0）、（x_B，0），
则有OA=|x_A|，OB=|x_B|；且x_A、x_B为方程3x²+5x+c=0的两根，
则xA?xB＝

c

3

．
即OA?OB=|x_A||x_B|=|

c

3

|．
在y=3x²+5x+c中，当x=0 时，y=c，
故C点坐标为（0，c），
则OC=|c|．据题意可知，OC²=OA?OB，
故|c|2＝|

c

3

|，解得：c=±

1

3

．

（3）将抛物线y=3x²+5x+

1

3

及y=3x²+5x-

1

3

平移后可得到如下“黄金”抛物线：
①y=3x²-5x+

1

3

；②y=3x²-5x-

1

3

．
抛物线y=ax²+bx+c（ac≠0）是“黄金”抛物线应满足的条件为：
Ⅰ．当ac＞0时，ac=1，且b²＞4；
Ⅱ．当ac＜0时，ac=-1，b可为任意实数．