Question

已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1?a2?…?ak为正整数的k（k∈N*）叫

已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1?a2?…?ak为正整数的k（k∈N*）叫做“简易数”．则在[1，2012]内所有“简易数”的和为______．

Answer 1

a_n=log_n（n+1）=

log2(n+1)

log2n

，（n≥2，n∈N^*），
∴a₁?a₂?a₃…a_k=1×

log23

log22

×

log24

log23

×

log25

log24

×…×

log2(k+1)

log2k

=log₂（k+1），
又∵a₁?a₂?a₃…a_k为整数，
∴k+1必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-1．
∴k∈[1，2012]内所有的“简易数”的和：
M=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2¹⁰-1）
=

2(1?210)

1?2

-10=2036，
故答案为：2036．