已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在区间[12，2
已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在区间[12，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）比较(1+1...
已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在区间[12，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）比较(1+1)(1+13)(1+17)…(1+12n?1)与e3e2的大小（n∈N*且n≥2，e是自然对数的底数）．
展开
1个回答
展开全部
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
∵函数f（x）=ax-1-lnx，∴f′(x)＝a?
＝
①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
②当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜
，由f′（x）＞0得x＞
，
∴函数f（x）在区间（0，
）上是减函数；函数f（x）在(
，+∞)上是增函数
（Ⅱ）不等式f（x）＜0在区间[
，2]上恒成立，即a＜
在区间[
，2]上恒成立
令g(x)＝
，只需g（x）在区间[
，2]上的最小值g（x）min＞a即可
求导函数g′(x)＝
当
＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在(
，1)上单调递增；
当1＜x＜2时，g′（x），＜0，g（x）在（1，2）上单调递减
∴g（x）在区间[
，2]上的最小值是g(
)与g（2）中的较小者
∵g(
)＝2?2ln2，g(2)＝
．
∴g(
)?g(2)＝
ln
＜0
∴g(
)＜g(2)
∴g（x）在区间[
，2]上的最小值是g(
)＝2?2ln2
∴a＜2-2ln2
∴实数a的取值范围为（-∞，2-2ln2）；
（Ⅲ）(1+1)(1+
)(1+
)…(1+
)＜e
∵函数f（x）=ax-1-lnx，∴f′(x)＝a?
| 1 |
| x |
| ax?1 |
| x |
①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
②当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴函数f（x）在区间（0，
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
（Ⅱ）不等式f（x）＜0在区间[
| 1 |
| 2 |
| 1+lnx |
| x |
| 1 |
| 2 |
令g(x)＝
| 1+lnx |
| x |
| 1 |
| 2 |
求导函数g′(x)＝
| ?lnx |
| x2 |
当
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当1＜x＜2时，g′（x），＜0，g（x）在（1，2）上单调递减
∴g（x）在区间[
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵g(
| 1 |
| 2 |
| 1+ln2 |
| 2 |
∴g(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| e3 |
| 32 |
∴g(
| 1 |
| 2 |
∴g（x）在区间[
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴a＜2-2ln2
∴实数a的取值范围为（-∞，2-2ln2）；
（Ⅲ）(1+1)(1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n?1 |
| 3 | e
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
