Question

如图，在平面直坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率．

如图，在平面直坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率．且椭圆C与直线y＝x+3有且只有一个交点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆经过点（1，e），∴

1

a2

+

e2

b2

＝1，
又e＝

c

a

，
∴

1

a2

+

c2

a2b2

＝1，∴b²=1，
∴椭圆的方程为

x2

a2

+y2＝1，
又∵椭圆C与直线y＝x+

3

有且只有一个交点，
∴方程

x2

a2

+(x+

3

)2＝1即(1+a2)x2+2

3

a2x+2a2＝0有相等实根，
∴△＝(2

3

a2)2?4(1+a2)?2a2＝0，解得a²=2，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2＝1