Question

如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，且∠CDF=60°，CF=3cm．（1）求证：四边形BCFE

如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，且∠CDF=60°，CF=3cm．（1）求证：四边形BCFE是等腰梯形；（2）求这个梯形的周长．

Answer 1

解答：证明：（1）∵矩形ABCD中，AC、BD交于O点，
∴BO=CO
又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°
又∵∠BOE=∠COF
在△BOE和△COF中，

∠BEO＝∠CFO ∵∠BOE＝∠COF BO＝CO

，
∴△BOE≌△COF（AAS）
∴EO=FO，BO=CO
又∵∠EOF=∠COB
∴∠OEF=∠OFE=∠OCB=∠OBC
∴EF∥BC
又∵BE=CF
∴四边形BCFE是等腰梯形；

（2）解：∵∠CDF=60°，CF=

3

cm．
∴在Rt△BCD中∠CBF=30°
∴BC=2CF=2

3

cm
∵在矩形ABCD中，∠CDF=60°，且OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
又∵CF⊥OD，
∴OF=FD，
同理，OE=EA，
∴在三角形OAD中，EF是中位线，
∴EF=

AD

2

∵BC=AD=2

3

cm
∴EF=

3

cm
又∵BE=CF=

3

∴等腰梯形BCFE周长是：CF+BC+BE+EF=

3

+2

3

+

3

+

3

=5

3

（cm）