Question

已知函数f（x）=x2-2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞2时，f（x）＞3x-4

已知函数f（x）=x2-2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞2时，f（x）＞3x-4．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=x²-2lnx，
∴函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
f′(x)＝2x?

2

x

=

2(x+1)(x?1)

x

，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-3x+1=x²-2lnx-3x+4，
则g′(x)＝2x?

2

x

?3=

(2x+1)(x?2)

x

，
∵当x＞2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（2，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（2）=4-2ln2-6+4＞0，
∴当x＞2时，x²-2lnx＞3x-4，
即当x＞2时，f（x）＞3x-4．