Question

1/n+1+1/n+2+……+1/2n<3/4

用①倒序相加法
②柯西不等式
1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/2n<3/4

Answer 1

①倒序相加法：
设正序和S=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(2n)
倒序和S'=1/(2n)+1/(2n-1)+……+1/(n+1)
对应相加：
S+S'
=(3n+1)/[(2n)(n+1)]+(3n+1)/[(2n-1)(n+2)]+……+(3n+1)/[(n+1)(2n)]
注意以上n项的通项：(3n+1)/[(2n-i)(n+i+1)]【0<=i<=n-1】
分母部分：
(2n-i)(n+1+i)
=(2n)(n+1)+(2n)i-(n+1+i)i
=(2n)(n+1)+[(n-1)-i]i
>=(2n)(n+1)
∴(3n+1)/[(2n-i)(n+i+1)]<=(3n+1)/[(2n)(n+1)]【i=0或n-1取等号】
∴2S=S+S'<n{(3n+1)/[(2n)(n+1)]}
=(3n+1)/[2(n+1)]<3(n+1)/[2(n+1)]=3/2
∴S<3/4

②柯西不等式：
S^2=[1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(2n)]^2
<(1^2+1^2+……+1^2)[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+……+1/(2n)^2]【不可能取等号】
=n[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+……+1/(2n)^2]【适当缩小分母部分】
<n{1/[n(n+1)]+1/[(n+1)(n+2)]+……+1/[(2n-1)(2n)]【裂项求和】
=n[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)+……+1/(2n-1)-1/(2n)]
=n[1/n-1/(2n)]
=1/2
∴S<√2/2=2√2/4=√8/4<√9/4=3/4

【高中阶段这题用数学归纳法做最简单。高等数学里当n→∞这是一个有名的级数，和为ln2。而且T=1-1/2+1/3-1/4+……+1/(2n-1)-1/(2n)和题中的S恒等】

Answer 2

1/n+1+1/n+2+……+1/2n<3/4

1/n+1+1/n+2+……+1/2n=[1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+1/(1+3/n)+........1/(1+n/n)]/n

根据积分定义可得∫1/(1+x)dx在0到1的积分,结果是ln2=0.69<3/4

而且级数1/n+1+1/n+2+……+1/2n是单调增加,且当n=1时级数为1/2<3/4

所以1/n+1+1/n+2+……+1/2n<n*1/2n=1/2<3/4

Answer 3

3+2(n-1)=2n+1
3+2n-2=2n+1
这个方程的解为：n为一切实数
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