Question

已知函数f（x）=ax 2 +x-xlnx（a＞0）（a∈R）（1）若a=0，判断函数的单调性（2）函数f（x）满足f（1）=2

已知函数f（x）=ax 2 +x-xlnx（a＞0）（a∈R）（1）若a=0，判断函数的单调性（2）函数f（x）满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx 2 +2x恒成立，求实数b的取值范围；（3）当 1 e ＜x＜y＜1时，试比较 y x 与 1+lny 1+lnx 的大小．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）． f ′ （x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1． x∈（0，1）时，f ′ （x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数． x∈（1，+∞）时，f ′ （x）＜0f（x）在（1，+∞）上是减函数； （2）由f（1）=2，得a=1，所以f（x）=x 2 +x-xlnx，由f（x）≥bx 2 +2x，得 b≤1- 1 x - lnx x ． 令 g(x)=1- 1 x - lnx x ，可得g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增． ∴g（x） min =g（1）=0 即b≤0； （3）由（Ⅱ）知 g(x)=1- 1+lnx x 在（0，1）上单调递减 ∴ 1 e ＜x＜y＜1 时，g（x）＞g（y） 即 1+lnx x ＜ 1+lny y 而 1 e ＜x＜y＜1 时，-1＜lnx＜0，∴1+lnx＞0 ∴ y x ＜ 1+lny 1+lnx ．