Question

如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且 CE= 1 2 BC ．过

如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且 CE= 1 2 BC ．过点E作EF ∥ CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF ∥ BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

Answer 1

（1）证明：延长EF交AD于G（如图）， 在平行四边形ABCD中，AD ∥ BC，AD=BC， ∵EF ∥ CA，EG ∥ CA， ∴四边形ACEG是平行四边形， ∴AG=CE， 又∵ CE= 1 2 BC ，AD=BC， ∴ AG=CE= 1 2 BC= 1 2 AD=GD ， ∵AD ∥ BC， ∴∠ADC=∠ECF， 在△CEF和△DGF中， ∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG， ∴△CEF≌△DGF（AAS）， ∴CF=DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∴OF ∥ BC． （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形． 证明：∵OF ∥ CE，EF ∥ CO， ∴四边形OCEF是平行四边形， ∴EF=OC， 又∵梯形OBEF是等腰梯形， ∴BO=EF， ∴OB=OC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO． ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形．